Несмотря на то, что заявление на поступление в 10 класс пишет сам обучающийся, в соответствии с частью 6 статьи 9 федерального закона «О персональных данных», в случае недееспособности субъекта персональных данных согласие на обработку его персональных данных дает законный представитель субъекта персональных данных. Так как полная дееспособность появляется у гражданина( в соответствии с частью 1 статьи 21 ГК РФ) с наступлением совершеннолетия (18-ти летнего возраста) обработка персональных данных несовершеннолетнего не может быть произведена без письменного согласия его законного представителя (даже если сам обучающийся дал разрешение).
Так что в случае, если Вашему ребенку меньше 18-ти лет, то согласие на обработку персональных данных, согласно Федеральному закону от 27.07.2006 N 152-ФЗ (ред. от 31.12.2017) "О персональных данных", дает его законный представитель (родитель, усыновитель, попечитель).
Если же ребенок достиг 18-ти летнего возраста или вступил в брак до достижения им 18-ти лет (п. 2 ст. 21 ГК РФ) то со времени вступления в брак и с достижением совершеннолетия лицо приобретает дееспособность в полном объеме, и в таком случае может подписать согласие на обработку персональных данных самостоятельно.

Ответ подготовлен при участии студента 4 курса факультета права НИУ ВШЭ: Вишневской Э. А.