По причине отсутствия полного объема информации относительно вашей ситуации, не совсем понятно, почему вам нужно быть отчисленным из образовательной организации для прохождения медкомиссии и подачи заявления.

Однако мы можем указать некоторые ориентиры, которые позволят вам оценить, как лучше поступить в данной ситуации:
1. Нет установленного срока, в который школа обязана выдать аттестат. Скорее всего, аттестаты будут находиться в школе за несколько дней до официального выпускного, на котором по традиции их выдают. Проблема с выдачей аттестата до официального выпускного — исключительно техническая, т.к. аттестаты нужно заполнить, отпечатать, привезти, внести в журнал выдачи и пр. Поэтому это делается для всех школьников сразу, и понятно, что это происходит не в день выпускного, а заранее.
2. Не совсем ясно, в какую школу вы поступаете в родном городе, если в ней для 10 класса установлены сроки подачи заявлений. Дело в том, что для обычной школы (за исключением 1 класса) заявление о зачислении можно подавать в любое время в течение года, а отказать в приёме в школу могут только в том случае, если в ней нет свободных мест.

С другой стороны, если вы поступаете в школу, где предусмотрен индивидуальный отбор (вступительные испытания), то, действительно, срок подачи документов в этом случае может быть ограничен.
Однако ни для зачисления в обычную школу, ни в школу с индивидуальным отбором не требуется прохождение медкомиссии (если речь не про психолого-медико-педагогическую комиссию, которая нужна для выбора адаптированной программы).

Если вы поступаете в кадетскую школу, то для таких школ существуют отдельные порядки поступления, в зависимости от того, какой орган является учредителем. Действительно, такие порядки могут не учитывать реальных сроков выдачи аттестатов. Однако для прохождения медкомиссии аттестат вам не требуется, её можно проходить уже сейчас (кроме того, нужно проверить в правилах приёма новой школы (размещаются на сайте), какой срок медицинских документов требуется, не подходят ли медосмотры, которые вы прошли ранее).
Вы также можете позвонить (написать) в новую школу и уточнить у них, можно ли будет предоставить аттестат позднее (если он требуется), а на данном этапе ограничиться выпиской из личного дела, справкой об оценках и пр.